Perbandingan Trigonometri

 

Persamaan Lingkaran

     

         Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran,  sedangkan jarak titik terhadap pusat lingkaran disebut jari-jari lingkaran.

Gambar dibawah ini menunjukkan lingkaran dengan pusat P dan jari-jari r.

                                           

A.    Persamaan Lingkaran

        1.      Persamaan lingkaran yang  berpusat O (0, 0) dan jari-jari r

                   Pada lingkaran disamping jari-jari atau r = OP, OQ = x dan PQ = y.

 Jarak dari O (0, 0) ke P (x, y) adalah.

                      

Berdasarkan rumus Pythagoras 

                 

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari r adalah  x2 + y2 = r2

                 Contoh :

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat O (0, 0) dan jari-jari 5

                  Jawab :

                   

          2.    Persamaan lingkaran yang berpusat P (a, b) dan berjari-jari r

                                          

        Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r dapat diperoleh dari persamaan lingkaran    yang   berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r dengan menggunakan teori pergeseran. Jika pusat (0, 0) bergeser (a, b) maka titik (x, y) bergeser ke (x + a, y + b).

                  Kita peroleh persamaan.

                 Persamaan lingkaran menjadi (x’– a)2 + (y’ – b)2 = r2

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r adalah (x- a)2 + (y – b)2 = r2

                  Contoh 1 :

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 2) dan berjari-jari 4

                 Jawab :

Pusat (3, 2)  maka a = 3 dan b = 2

Persamaan lingkaran (x- a)2 + (y – b)2 = r2

                                                         (x- 3)2 + (y – 2)2 = 42

                                                        (x- 3)2 + (y – 2)2 = 16

                 Contoh 2 :

                  Tentukan persamaan lingkaran berpusat di titik  P(2, 3) yang melalui Q(5, -1)

                 Jawab : 

Pusat (2, 3)  maka  a = 2 dan b = 3

Persamaan lingkaran (x- a)2 + (y – b)2 = r2

                                                         (x- 2)2 + (y – 3)2 = 252

B.    Bentuk umum persamaan lingkaran

Persamaan lingkaran yang berpusat  P(a, b) dan berjari-jari r adalah

          (x- a)2 + (y – b)2 = r2

          x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

          x2+ y2 – 2ax – 2by + a2+ b2– r2 = 0 atau  x2+ y2 + Ax + By + a2+ b2+ C= 0

Jadi bentuk umum persamaan lingkaran x2+ y2 + Ax + By + a2+ b2+ C= 0

        Contoh :

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2+ y2 – 4x +2y – 20= 0

       Jawab :

A = -4,  B = 2,  dan  C = -20