PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK BENTUK LINEAR SATU VARIABEL

 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK BENTUK LINEAR SATU VARIABEL

Kembali lagi bersama saya di blog tetamatika, tetamatika memberikan berbagai administrasi guru, materi ajar, media pembelajaran yang berkaitan dengan pelajaran matematika. Kali ini saya akan membahas tentang materi Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Bentuk Linear Satu Variabel Kelas X Semester 1.

Nilai mutlak suatu bilangan dapat diartikan jarak antara bilangan tersebut dari titik nol (0). Dengan demikian jarak selalu bernilai positif.
Misalnya:

Parhatikan garis bilangan berikut.

Jarak angka 6 dari titik 0 adalah 6
Jarak angka -6 dari titik 0 adalah 6. Dari penjelesan di atas memang tampak bahwa nilai mutlak suatu bilangan selalu bernilai positif. Berkaitan dengan menentukan nilai mutlak suatu bilangan, maka muncullah tanda mutlak. 

Tanda mutlak disimbolkan dengan garis 2 ditepi suatu bilangan atau bentuk aljabar. Secara umum, bentuk persamaan nilai mutlak dapat dimaknai seperti berikut. Jika kita mempunyai persamaan dalam bentuk aljabar, maka dapat dimaknai sebagai berikut. Jadi, bentuk dasar di atas dpat digunakan untuk membantu menyelesaikan persamaan mutlak. Lebih jelasnya laporannya contoh-contoh berikut.






Contoh 
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini. 

Jawaban: 

1.  Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.

     (*)   x + 5 = 3, maka x = 3 - 5 = -2

     (**) x + 5 = -3, maka x = -3 - 5 = -8 

     Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2, -8 }

2.  Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.
     (*)   2x + 3 = 5, maka 2x = 5 - 3 
                                         2x = 2 <==> x = 1
      (**) 2x + 3 = -5, maka 2x = -5 -3
                                           2x = -8 <== > x = -4
    Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-4, 1}

3. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu x + 1. 

    Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian. 

    Bagian pertama untuk batasan x + 1> = 0 atau x> = -1 

    Bagian kedua untuk batasan x + 1 <0 atau x <-1 

    Mari kita selesaikan. 

     (*)  untuk x> = - 1      

            Persamaan mutlak dapat ditulis: 

                 (x + 1) + 2x = 7              

                                3x = 7 - 1  

                                3x = 6

                                  x = 2  ( terpenuhi, karena batasan> = -1 )


     (**)  untuk x <-1
             Persamaan mutlak dapat ditulis:
                - (x + 1) + 2x = 7
                     -x - 1 + 2x = 7
                                    x = 7 + 1                 
                                    x = 8 ( tidak terpenuhi, karena batasan <-1 )

             Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {2}.

 4.   Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu 3x + 4.

       Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi dua bagian.

       Bagian pertama untuk batasan 3x + 4> = 0 atau x> = -4/3 

       Bagian kedua untuk batasan 3x + 4 <0 atau x <-4/3 

       Mari kita selesaikan. 

       (*)  untuk x> = - 4/3      

              Persamaan mutlak dapat ditulis:   

                                (3x + 4) = x - 8         

                                    3x - x = -8 - 4             

                                         2x = -12          

                                           x = -6 ( tidak terpenuhi, karena batasan> = - 4/3 )

        (**)  untuk x <-4/3      

                Persamaan mutlak dapat ditulis: 

                             - (3x + 4) = x - 8

                                  -3x - 4 = x -8 

                                 -3x - x = -8 + 4  

                                      -4x = -4
                                         x = 1 ( tidak terpenuhi, karena batasan <-4/3 )

                       Jadi, Tidak ada Himpunan penyelesaiannya.


Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak hampir sama dengan persamaan nilai mutlak. hanya berbeda sedikit pada tanda ketidaksamaannya. Langkah-langkah selanjutnya seperti menyelesaikan pertidaksamaan linier atau kuadrat satu variabel.
Pertidaksamaan mutlak dapat digambarkan sebagai berikut. Apabila fungsi di dalam nilai mutlak berbentuk ax + b maka pertidaksamaan nilai mutlak dapat memenuhi syarat seperti berikut.

Lebih jelasnya lihat contoh-contoh pada lampiran

Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari Pertidaksamaan nilai mutlak berikut ini.

Jawaban
1. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini sebagai berikut.
               -9 < x + 7 < 9

                    -9 - 7 < x < 9 - 7 

              -16 < x < 2  

    Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | -16 < x <2}
    

2. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini dibagi menjadi dua bagian.
     (*)   2x - 1> = 7
                 2x > = 7 + 1
                 2x > = 8
                   x > = 4   

     (**) 2x - 1 <= -7

                  2x <= -7 + 1   

                  2x <= -6 

                    x <= - 3

            Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x <= -3 atau x> = 4}


 3. Kalau dalam bentuk soal ini,

     langkah menyelesaikan pertidaksamaannya dengan  mengkuadratkan kedua ruas.
     proses berikut ini.
       (x + 3) 2  <= (2x - 3) 2
       (x + 3) 2  - (2x - 3) 2  <= 0
       (x + 3 + 2x - 3) (x + 3 - 2x + 3) <= 0  (ingat: a 2  - b 2  = (a + b) (ab))

                                            x (6 - x) <= 0

             Pembuat nol adalah x = 0 dan x = 6

       Mari selidiki menggunakan garis bilangan

       Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <= 0 atau x> = 6.

       Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x / x <= 0 atau x> = 6}.

       Mari selidiki menggunakan garis bilangan

 

  

       Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <= 0 atau x> = 6.

       Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x <= 0 atau x> = 6}.

4.  Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak seperti ini lebih mudah menggunakan

     cara menjabarkan definisi.
     Prinsipnya adalah batasan-batasan pada fungsi nilai mutlaknya.
     Perhatikan pada 3x + 1 dan 2x + 4.








     Dari batasan batasan itu maka dapat diperoleh batasan-batasan nilai 

     penyelesaian seperti pada garis bilangan di bawah ini.

     Dengan garis bilangan tersebut maka pengerjaanya dibagi menjadi 3 bagian 

     daerah penyelesaian.
     1. Untuk batasan  x> = -1/3   ...... (1)
                    (3x + 1) - (2x + 4) < 10
                           3x + 1 - 2x- 4 < 10
                                         x - 3 < 10

                                              x < 13 .. ..... (2)
                               

          Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian  -1/3 <= x <13

      2. Untuk batasan  -2 <= x <-1/3   ...... (1)
                 - (3x + 1) - (2x + 4) < 10
                         -3x - 1 - 2x - 4 < 10
                                      -5x - 5 < 10
                                           -5x < 15 
                                             -x < 3

                                               x > 3 .. ..... (2)
                             

             Dari (1) dan (2) tidak diperoleh irisan penyelesaian atau

             tidak ada penyelesaian.

      3. Untuk batasan  x <-2   ...... (1)
                     - (3x + 1) + (2x + 4) < 10
                            -3x - 1 + 2x + 4 < 10
                                            -x + 3 < 10
                                                  -x < 7

                                                    x > -7 .. ..... (2)
                                

            Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian  -7 <x <-2 . 

            Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah  {x /  -1/3 <= x <13 atau -7 < x <-2 }.