STATISTIKA

 LOGIKA  MATEMATIKA

Materi Logika Matematika

Apa itu logika matematika? Penjelasan singkatnya, logika matematika adalah aturan berpikir atau landasan tentang bagaimana cara kita mengambil kesimpulan. Pertimbangan akal pikiran yang kita gunakan untuk menarik kesimpulan bukan hanya didasarkan pada logika alamiah, namun juga logika ilmiah. Nah, logika ilmiah ini bisa kamu pelajari lewat materi Logika Matematika.

Kamu perlu belajar materi Logika Matematika supaya dapat berpikir kritis, runtut, dan rasional. Apabila kamu sudah menguasai materi ini dengan baik, proses berpikir kamu akan menjadi lebih objektif sehingga bisa mengurangi kesalahan saat mengambil keputusan.

Pengertian Proposisi

Logika matematika sangat dekat kaitannya dengan pernyataan dan penarikan kesimpulan. Itulah sebabnya saat belajar materi ini kamu harus tahu apa yang disebut proposisi. Proposisi adalah suatu pernyataan yang mempunyai dua kemungkinan nilai kebenaran, yaitu benar atau salah tetapi tidak mungkin keduanya (lebih dari satu).

Contohnya, angka 2 adalah bilangan genap merupakan pernyataan benar. Bilangan genap merupakan bilangan bulat dan habis dibagi 2. Angka 2 termasuk bilangan bulat dan akan habis jika dibagi 2.

Proposisi pada logika matematika terbagi menjadi 3 jenis, yaitu proposisi tunggal, majemuk, dan kompleks. Jenis proposisi tunggal yaitu pernyataan tanpa perangkai. Sementara proposisi majemuk memiliki satu perangkai. Terakhir, proposisi kompleks memiliki dua atau lebih perangkai.

Perangkai Dasar Proposisi

Ada 5 perangkai dasar proposisi dalam logika matematika, antara lain ingkaran atau negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Untuk menarik suatu kesimpulan yang benar dari suatu proposisi, kamu harus memahami terlebih dahulu setiap perangkai dasarnya. Simak penjelasannya berikut ini!

Ingkaran atau Negasi

Ingkaran atau negasi adalah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dari pernyataan atau proposisi semula. Dalam logika matematika, ingkaran atau negasi memiliki simbol (~). Apabila pernyataan awal bernilai benar, maka pernyataan barunya bernilai salah. Sebaliknya, jika pernyataan semula bernilai salah, maka pernyataan barunya bernilai benar.

Permisalan ingkaran atau negasi adalah sebagai berikut:

• Jika (p) bernilai benar (B), maka ingkarannya (~p) bernilai salah (S).
• Jika (p) bernilai salah (S), maka ingkarannya (~p) bernilai benar (B).

Biar lebih jelas, simak contoh di bawah ini!

  p =  Charles memiliki seekor anjing.

~p =  Charles tidak memiliki seekor anjing.

  p =  Semua unggas adalah burung.

~p =  Ada unggas yang bukan burung.

Disjungsi

Disjungsi adalah proposisi majemuk yang dihubungkan oleh kata hubung ‘atau’. Secara matematika, disjungsi ditulis sebagai p v q, yang berarti p atau q. Suatu disjungsi akan bernilai benar jika salah satu pernyataan bernilai benar atau kedua pernyataan (p dan q) bernilai benar. Untuk menentukan kebenaran dari disjungsi, kamu bisa simak tabel berikut:

p	q	p v q
B	B	B
S	S	S
B	S	B
S	B	B

Contoh:

p = NCT 127 menyelenggarakan konser pada hari Sabtu.

q = NCT 127 menyelenggarakan konser pada hari Minggu.

Disjungsi (p v q) = NCT 127 menyelenggarakan konser pada hari Sabtu atau Minggu.

Konjungsi

Konjungsi adalah suatu proposisi majemuk yang dihubungkan oleh kata hubung ‘dan’. Perangkai ini dilambangkan sebagai p ^ q, yang berarti p dan q. Suatu konjungsi akan bernilai benar jika kedua pernyataan (p dan q) bernilai benar. Untuk lebih jelasnya, perhatikan tabel konjungsi berikut:

p	q	p ^ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Contoh:

p = Luffy memiliki teman bernama Zoro.

q = Luffy memiliki teman bernama Nami.

Konjungsi (p ^ q) = Luffy memiliki teman bernama Zoro dan Nami.

Implikasi

Implikasi adalah proposisi majemuk sebab-akibat yang dihubungkan oleh kata hubung ‘jika…, maka…’. Secara matematika, implikasi memiliki simbol p => q. Dalam hal ini, p disebut sebagai anteseden atau penyebab, sedangkan q disebut sebagai konsekuen atau akibat. Perangkai dasar proposisi implikasi akan bernilai benar, jika:

• p bernilai benar dan q bernilai benar, maka implikasinya benar;
• p bernilai salah dan q bernilai benar, maka implikasinya benar;
• p bernilai salah dan q bernilai salah, maka implikasinya benar; dan
• p bernilai benar dan q bernilai salah, maka implikasinya bernilai salah.

Adapun jenis-jenis implikasi adalah sebagai berikut:

• Konvers dari implikasi p => q yaitu q => p.
• Invers dari implikasi p => q yaitu ~p => ~q.
• Kontraposisi dari implikasi p => q yaitu ~q => ~p.

Contoh implikasi pada proposisi majemuk:

p = Hari ini cuaca cerah

q = Hari ini ibu menjemur pakaian.

Implikasi (p => q) = Hari ini cuaca cerah, maka ibu menjemur pakaian.

Biimplikasi

Biimplikasi merupakan proposisi majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung ‘jika dan hanya jika…’. Pada logika matematika, biimplikasi memiliki simbol p ⬄ q. Suatu proposisi bernilai benar bilamana memiliki nilai kebenaran yang sama. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini!

p = Rona memberikan hadiah kepada ibunya.

q = Rona memenangkan lomba menyanyi.

Biimplikasi (p ⬄ q) = Rona memberikan hadiah kepada ibunya jika dan hanya jika ia memenangkan lomba menyanyi.

Contoh Soal Logika Matematika dan Pembahasan

Setelah mengetahui perangkai dasar proposisi dan contoh-contohnya, kini saatnya kamu menguji kemampuanmu lewat latihan soal. Mipi bakal memberikan contoh soal proposisi tingkat mudah dan pembahasannya. Yuk, kerjakan sekarang dan ukur kemampuanmu dalam menarik kesimpulan!

Soal 1

Berikut yang bukan merupakan proposisi adalah…

A. Matematika merupakan ilmu yang sulit

B. Tumbuhan hijau mampu berfotosintesis

C. 2 bukan merupakan bilangan prima terkecil

D. Proposisi tunggal merupakan gabungan dari dua buah proposisi

E. Integral merupakan anti turunan

Pembahasan:

Bukan proposisi merupakan sebuah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran lebih dari satu.

Matematika merupakan ilmu yang sulit bukan termasuk proposisi karena tidak bisa ditentukan nilai kebenarannya. Bagi sebagian orang, matematika adalah ilmu yang sulit, namun bisa jadi bagi sebagian orang yang lain matematika adalah ilmu yang mudah.

Jawaban yang benar adalah A.

Soal 2

Ingkaran dari pernyataan “Lingkaran memiliki sisi tak berhingga” adalah…

A. Lingkaran tidak memiliki sisi tidak berhingga

B. Semua lingkaran memiliki sisi tak berhingga

C. Ada lingkaran yang memiliki sisi tak berhingga

D. Semua lingkaran tidak memiliki sisi tak berhingga

E. Ada lingkaran yang tidak memiliki sisi tak berhingga

Pembahasan:

Ingkaran dari sebuah pernyataan bisa dibuat dengan menambahkan kata ‘tidak’. Jadi, ingkaran dari “Lingkaran memiliki sisi tak berhingga” adalah “Lingkaran tidak memiliki sisi tak berhingga”