KAIDAH PENCACAHAN

Kaidah pencacahan adalah suatu cara atau aturan untuk menghitung semua kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu percobaan.Banyak cara yang mungkin terjadi dari sebuah percobaan dapat ditentukandengan menggunakan salah satu gabungan dari metode, yaitu metode aturanpengisian tempat, metode permutasi, dan metode kombinasi Kaidah pencacahan atau Caunting Slots adalah suatu kaidah yang digunakan untukmenentukan atau menghitung berapa banyak cara yang terjadi dari suatu peristiwa.

Kaidah pencacahan terdiri atas :

a.  Pengisian tempat yang tersedia (Filling Slots),

b.  Permutasi, dan

c.  Kombinasi.

Aturan Perkalian

Apabila sebuah kejadian bisa berlangsung dalam n tahap yang saling berurutan di mana tahap 1 bisa berlangsung dalam q1 cara, tahap 2 bisa berlangsung dalam q2 cara, tahap 3 dapat terjadi dalam q3 cara demikian seterusnya hingga tahapan ke – n bisa berlangunsg dalam qncara maka kejadian tersebut bisa terjadi secara berurutan dalam q1 × q2 × q3 × … × qn dengan cara berbeda.

Sebagai contoh:

Berapa banyaknya cara atau metode untuk memilih 3 pengurus OSIS yang terdiri atas ketua, sekretaris serta bendahara dari total 8 orang siswa?

Penyelesaian:

Misal ada 3 tempat untuk mengisi posisi ketua, sekretaris dan bendahara yang kita visualkan seperti di bawah ini:

       Ketua                                      Sekretaris                                Bendahara

Dari ke-8 siswa itu, seluruh berhak dipilih untuk menjadi ketua sehingga terdapat 8 cara untuk mengisi posisi ketua.

Sebab 1 orang telah menjadi ketua maka tinggal 7 orang yang berhak untuk dipilih menjadi sekretaris sehingga terdapat 7 cara untuk mengisi posisi sekretaris.

Sebab 1 orang telah terpilih menjadi ketua serta 1 orang sudah menjadi sekretaris maka tinggal 6 orang yang berhak untuk dipilih menjadi bendahara sehingga terdapat 6 cara untuk mengisi bendahara.

Ilustrasi seperti tabel di bawah ini:

8

7

6

       Ketua                                      Sekretaris                                Bendahara

 

Banyak cara untuk memilih 3 pengurus OSIS tersebut yaitu 8 × 7 × 6 = 336

Aturan Penjumlahan

Sebagai contoh ada sebuah kejadian yang bisa terjadi dalam n cara yang berlainan (saling asing) di mana dalam cara pertama ada p1 kemungkinan hasil yang berbeda.

Pada cara kedua ada p2 kemungkinan hasil yang berbeda. Pada cara ketiga ada p3kemungkinan hasil yang berbeda.

Serta demikian selanjutnya hingga cara yang ke – n ada pn kemungkinan hasil yang berbeda. Sehingga total banyak kemungkinan kejadian dalam peristiwa tersebut yaitu p1 + p2 + p3 + … + pn dengan cara berbeda.

Sebagai contoh:

Putra seorang pelajar SMK swasta di Purwokerto. Putra memiliki tiga jenis alat transportasi yang ia kendarai dari rumah ke sekolah. Antara lain: sepeda (sepeda mini, sepeda gunung), sepeda motor (yamaha, honda, suzuki) serta mobil (sedan, kijang, pick-up).

Pertanyaannya, berapa banyak cara Putra untuk berangkat dari rumah ke sekolah?

Penyelesaian:

Alat transportasi yang dipakai oleh Putra dari rumah ke sekolah hanyalah salah satu saja yakni sepeda atau sepeda motor atau mobil.

Tidak mungkin Putra mengendarai lebih dari satu kendaraan dalam waktu bersamaan.  Banyaknya cara Putra berangkat dari rumah ke sekolah merupakan banyak cara mengendarai sepeda + banyak cara mengenadari sepeda motor + banyak cara mengendarai mobil = 2 + 3 + 3 = 8 cara.

Notasi Faktorial

Contohnya n ∈ himpunan bilangan asli. Notasi n! (dibaca: n faktorial) diartikan sebagai hasil kali dari bilangan-bilangan asli secara berurutan dari n sampai 1.

Maka kita tulis:

n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1.

Diartikan sebagai 1! = 1 dan 0! = 1.

Sebagai contoh:

1. Tentukan nilai dari 5!.

Jawab:

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

2. Tentukan nilai dari 2! + 3!.

Jawab:

2! + 3! = (2 × 1) + (3 × 2 × 1) = 2 × 6 = 12

Permutasi

Permutasi mempelajari mengenai menyusun k objek dari n objek dengan cara memperhatikan urutan.

Ada tiga contoh permutasi yang sering timbul antara lain: permutasi dari unsur-unsur yang berbeda, permutasi dengan beberapa unsur yang sama, serta permutasi siklis. Selengkapnya simak baik-baik ulasan berikut ini.

Macam dan Formula atau Rumus Permutasi

1. Permutasi dari n elemen, masing-masing permutasi terdiri atas n elemen

Apabila terdapat unsur yang berbeda dan diambil n unsur, maka banyaknya susunan atau permutasi yang berbeda dari n unsur tersebut merupakan P(n,n) = n! atau nPn = n!

Sebagai contoh:

Untuk menyambut suatu pertemuan delegasi negara yang dihadiri oleh lima negara. Panitia kemudian akan memasang kelima bendera yang merupakan bendera dari lima negara yang hadir.

Banyak cara untuk panitia menyusun kelima bendera tersebut yaitu?

Jawab:

Dari kelima bendera yang ada, berarti kita peroleh n = 5, sehingga banyak susunan bendera yang mungkin yakni:

5! = 5.4.3.2.1 = 120 cara.

2. Permutasi n elemen, masing-masing permutasi terdiri atas r unsur dari n elemen dengan r ≤ n

Untuk semua bilangan positif n dan r, dengan r≤n, banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek pada satu waktu adalah:

Sebagai contoh:

Banyak cara untuk memilih seorang ketua, sekertaris dan juga bendahara dari 8 siswa yang tersedia yaitu…

Jawab:

Banyak siswa, n = 8

Ketua, sekretaris serta bendahara (banyak pilihan objek), r = 3

Sehingga:

3. Permutasi dari n unsur yang mengandung p.q dan r unsur yang sama

Keterangan:

n    = menunjukan banyaknya elemen seluruhnya

k1  = menunjukan banyaknya elemen kelompok 1 yang sama

k2  = menunjukan banyaknya elemen kelompok 2 yang sama

…

kt   = menunjukan banyaknya elemen kelompok kt yang sama

t = 1,2,3,…

Sebagai cottoh:

Banyaknya cara penyusunan untuk kata ”BASSABASSI” yaitu…

Jawab:

Dari kata ”BASSABASSI”, banyak huruf adalah (n) = 10

k1 = huruf B = 2

k2 = huruf A = 3

k3 = huruf S = 4

k4 = huruf I = 1

4. Permutasi Siklis

Permutasi siklis merupakan suatu permutasi melingkar (urutan melingkar).

Atau sebuah cara atau metode guna menentukan susunan unsur yang disusun secara siklis atau melingkar dengan cara memperhatikan urutannya. Banyaknya permutasi siklis dari n unsur berbeda yaitu:

nPsiklis = (n-1)!

Sebagai contoh:

Dari 5 orang anggota keluarga akan segera duduk mengelilingi satu meja bundar, banyaknya cara penyusunan yang bisa dibikin dari 5 orang tersebut yaitu…

Jawab:

Banyak orang (n) = 5, sehingga:

5Psiklis = (5 – 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 cara.

5. Permutasi berulang dari n unsur, tipe permutasi terdiri dari k unsur

Pn = nk

Contoh:

Banyak susunan dari 3 bilangan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 yaitu…

Jawab:

• Banyaknya susunan 3 bilangan, yang artinya bilangan ratusan, k = 3
• Banyak angka yang akan disusun adalah n = 6
• Banyak susunan 3 bilangan dari angka 1, 2, 3, 4, 5, serta 6, sehingga:

P6 = 63 = 216 susunan.

Kombinasi

Kombinasi merupakan suatu pengelompokan dari sebagaian atau seluruh elemen dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutan susunan pemilihannya. Cara untuk menentukan banyaknya kombinasi yaitu dengan menggunakan rumus di bawah ini:

Sebagai contoh:

Kombinasi dari 2 elemen dari 3 huruf  a,b,c yaitu ab, ac, bc . Sementara ba, ca, cb  tidak termasuk ke dalam hitungan sebab dalam kombinasi ab=ba, ac=ca, bc=cb. Banyak kombinasi yaitu …